在使用 COMSOL Multiphysics 求解電磁波問(wèn)題，都會(huì)建立一個(gè)包含多個(gè)域和邊界條件的模型。在域內(nèi)，我們會(huì)使用各種材料模型來(lái)表征許多不同物質(zhì)。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，所有這些材料最終都會(huì)在控制方程內(nèi)以相同的方式進(jìn)行處理。下面，讓我們來(lái)分析這些材料模型，并討論在什么時(shí)候使用。

我們?cè)谇蠼饽男┓匠探M？

文章將介紹電磁波，頻域接口內(nèi)使用的頻域形式 Maxwell 方程組，您可以在 RF 模塊和波動(dòng)光學(xué)模塊找到這個(gè)接口。文章內(nèi)容也適用于波動(dòng)光學(xué)模塊的電磁波，波束包絡(luò)公式。假設(shè)材料響應(yīng)與場(chǎng)強(qiáng)線性相關(guān)，我們將能在頻域?qū)懗?Maxwell 方程組，因此控制方程將能寫(xiě)為：

此方程求解了工作（角）頻率 f 下的電場(chǎng) ，其中 c_0 是真空中的光速。其他輸入項(xiàng)包括以下材料屬性： 相對(duì)磁導(dǎo)率、 相對(duì)介電常數(shù)和 電導(dǎo)率。所有這些材料輸入可以是正值或負(fù)值、實(shí)值數(shù)或復(fù)值數(shù)，還可以是標(biāo)量或張量。材料屬性可以隨頻率變化，不過(guò)如果我們只需分析一個(gè)相對(duì)較窄的頻率范圍，那一般不需要考慮該變化。

我們接下來(lái)將詳細(xì)分析每一種材料屬性。

電導(dǎo)率

電導(dǎo)率量化了材料的導(dǎo)電能力，是電阻率的導(dǎo)數(shù)。我們通常在穩(wěn)態(tài) (DC) 下測(cè)量材料電導(dǎo)率，從以上方程可以看出，材料的等效電阻率將隨頻率的升高而增大。我們通常假定電導(dǎo)率與頻率一致，不過(guò)我們稍后將討論幾個(gè)材料電導(dǎo)率會(huì)隨頻率變化的模型。如果材料的電導(dǎo)率非零，當(dāng)向材料施加電場(chǎng)后，它將開(kāi)始傳導(dǎo)電流并會(huì)因電阻損耗而耗散能量，即焦耳熱。此時(shí)，溫度會(huì)上升，并導(dǎo)致電導(dǎo)率發(fā)生改變。您可以輸入任意函數(shù)或列表數(shù)據(jù)來(lái)表示電導(dǎo)率隨溫度的變化，也可以使用軟件內(nèi)置的線性電阻率模型。線性電阻率模型常用于模擬電阻率隨溫度的變化，公式為：

其中 指參考電阻率、 指參考溫度， 是電阻溫度系數(shù)。您可以指定或通過(guò)計(jì)算得到隨空間變化的溫度場(chǎng) T。

電導(dǎo)率作為實(shí)值數(shù)輸入，而且它也可以具有各向異性，即材料電導(dǎo)率會(huì)在不同的坐標(biāo)方向發(fā)生變化。例如在層壓材料中，如果您不希望顯式模擬單獨(dú)的每一層，那就可以使用此方法。您可以為復(fù)合材料輸入一個(gè)經(jīng)實(shí)驗(yàn)確定或在單獨(dú)的分析中計(jì)算得到的均勻電導(dǎo)率。RF 模塊還提供了其他兩個(gè)選項(xiàng)來(lái)計(jì)算均勻電導(dǎo)率：Archie 定律（用于計(jì)算充滿導(dǎo)電流體的不導(dǎo)電多孔介質(zhì)的等效電導(dǎo)率）和混合了多種材料的多孔介質(zhì)模型。Archie 定律模型常用于模擬飽含海水、原油或其他電導(dǎo)率要高于土壤的流體的土壤。多孔介質(zhì)模型提供了三個(gè)選項(xiàng)來(lái)計(jì)算混合材料（最多包含五種材料）的等效電導(dǎo)率。首先是體積平均電導(dǎo)率，公式為：

其中， 是每種材料的體積分?jǐn)?shù)。模型適用于各種材料的電導(dǎo)率相似的情況。如果電導(dǎo)率的差別很大，那更適合使用體積平均電阻率：

最后，冪律公式給出的電導(dǎo)率介于其他兩個(gè)公式之間：

這些模型只適用于材料屬性變化的長(zhǎng)度量級(jí)小于波長(zhǎng)的情況。

相對(duì)介電常數(shù)

相對(duì)介電常數(shù)量化了當(dāng)向材料施加電場(chǎng)后材料的極化程度。通常我們可以稱所有 的材料為介電材料，即便真空 ( ) 也可以被稱作電介質(zhì)。我們還經(jīng)常使用介電常數(shù)來(lái)描述材料的相對(duì)介電常數(shù)。

材料的相對(duì)介電常數(shù)通常是復(fù)值數(shù)，其中負(fù)的虛部表示當(dāng)電場(chǎng)方向隨時(shí)間改變時(shí)，材料中的損耗。當(dāng)材料中的電場(chǎng)隨時(shí)間改變時(shí)，材料會(huì)以熱的形式耗散部分電能。此時(shí)，原子周?chē)娮釉频男螤铍S電場(chǎng)改變，產(chǎn)生了這種我們稱為介電損耗的現(xiàn)象。介電損耗的概念不同于之前討論的電阻損耗；但它們的數(shù)學(xué)處理完全相同，都是作為控制方程中的一個(gè)復(fù)數(shù)值項(xiàng)進(jìn)行處理。請(qǐng)記住 COMSOL Multiphysics 遵循了以下慣例：負(fù)的虛部（正的電導(dǎo)率值）將造成損耗，而正的復(fù)值組分（負(fù)的電導(dǎo)率值）將在材料中產(chǎn)生增益。軟件提供了七個(gè)相對(duì)介電常數(shù)模型；我們接下來(lái)將具體介紹這些模型。相對(duì)介電常數(shù)是 RF 模塊的缺省選項(xiàng)，可以輸入實(shí)值或復(fù)值標(biāo)量或張量。電導(dǎo)率部分提到的多孔介質(zhì)模型同樣適用于相對(duì)介電常數(shù)。

折射率是波動(dòng)光學(xué)模塊的缺省選項(xiàng)。您可以單獨(dú)輸入折射率的實(shí)部和虛部，即 n 和 k，同時(shí)相對(duì)介電常數(shù)是 。該材料模型假定電導(dǎo)率為零，并假定了單位相對(duì)磁導(dǎo)率。

損耗角正切需要輸入實(shí)值相對(duì)介電常數(shù) 和標(biāo)量損耗角正切 。相對(duì)介電常數(shù)由 計(jì)算，且材料電導(dǎo)率為零。

通過(guò)介電損耗選項(xiàng)可以輸入相對(duì)介電常數(shù) 的實(shí)部和虛部。 請(qǐng)注意符號(hào)：使用該接口時(shí)，如在虛部 輸入一個(gè)正的實(shí)值數(shù)，將造成損耗，因?yàn)檐浖?nèi)部會(huì)將其乘以 -j。您可以瀏覽金納米球的光散射模型示例，學(xué)習(xí)該材料模型的使用。

Drude-Lorentz 彌散是基于 Drude 自由電子模型和 Lorentz 振蕩模型開(kāi)發(fā)的材料模型。Drude 模型 ( ) 用于金屬和摻雜半導(dǎo)體，Lorentz 模型描述了聲子模及帶間躍遷等諧振現(xiàn)象。通過(guò)加和來(lái)結(jié)合這兩個(gè)模型，將能精確描述各類(lèi)固體材料。它預(yù)測(cè)了復(fù)相對(duì)介電常數(shù)隨頻率的變化：

其中 是對(duì)相對(duì)介電常數(shù)的高頻貢獻(xiàn)、 是等離子體頻率、 是振蕩器強(qiáng)度、 是諧振頻率， 是阻尼系數(shù)。由于模型計(jì)算了復(fù)值介電常數(shù)，COMSOL Multiphysics 內(nèi)的電導(dǎo)率將設(shè)為零。這是模擬依賴于頻率的電導(dǎo)率的方法之一。

Debye 彌散模型是 Peter Debye 基于極化弛豫時(shí)間開(kāi)發(fā)的材料模型。模型主要用于極性液體。它預(yù)測(cè)了復(fù)相對(duì)介電常數(shù)隨頻率的變化：

其中 是對(duì)相對(duì)介電常數(shù)的高頻貢獻(xiàn)、 是對(duì)相對(duì)介電常數(shù)的貢獻(xiàn)、 是弛豫時(shí)間。由于模型計(jì)算了復(fù)值介電常數(shù)，電導(dǎo)率假定為零。這是另一種模擬依賴于頻率的電導(dǎo)率的方法。

波動(dòng)光學(xué)模塊中的 Sellmeier 彌散模型主要用于光學(xué)材料。它假定電導(dǎo)率為零、單位相對(duì)磁導(dǎo)率，并基于工作波長(zhǎng) 而非頻率定義了相對(duì)介電常數(shù)：

其中系數(shù) 和 確定了相對(duì)介電常數(shù)。

您可以根據(jù)技術(shù)文獻(xiàn)給出的材料屬性在這七個(gè)模型中進(jìn)行選擇。請(qǐng)記住，從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，它們?cè)诳刂品匠讨械妮斎敕绞较嗤?/p>

相對(duì)磁導(dǎo)率

相對(duì)磁導(dǎo)率量化了材料對(duì)磁場(chǎng)的響應(yīng)。我們將所有 的材料稱為磁性材料。鐵是地球上最常見(jiàn)的磁性材料，但我們很少在 RF 或光學(xué)應(yīng)用中使用高純鐵，更常使用的是鐵磁性材料。這類(lèi)材料會(huì)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的各向異性磁屬性，可以通過(guò)施加 DC 磁場(chǎng)控制。與鐵不同，鐵磁性材料的電導(dǎo)率較低，因此高頻電磁場(chǎng)能夠透入材料并與材料主體發(fā)生相互作用。參數(shù)化環(huán)形器結(jié)構(gòu)教程演示了如何模擬鐵磁性材料。可以通過(guò)兩個(gè)選項(xiàng)指定相對(duì)磁導(dǎo)率：相對(duì)磁導(dǎo)率模型（RF 模塊的缺省選項(xiàng)）和磁損耗模型。相對(duì)磁導(dǎo)率模型支持您輸入一個(gè)實(shí)值或復(fù)值標(biāo)量或張量。電導(dǎo)率部分提到的多孔介質(zhì)模型同樣適用于相對(duì)磁導(dǎo)率。與上文提到的介電損耗模型類(lèi)似，磁損耗模型中相對(duì)磁導(dǎo)率的實(shí)部和虛部可以作為實(shí)值數(shù)輸入，虛數(shù)磁導(dǎo)率將在材料中造成磁損耗。

模擬與網(wǎng)格剖分注意事項(xiàng)

在所有電磁模擬中，我們都不應(yīng)忽視集膚深度這個(gè)重要的概念，即材料中的電場(chǎng)減小到表層電場(chǎng)值的 1/e 的距離。集膚深度可以定義為：

我們可以看到相對(duì)介電常數(shù)和磁導(dǎo)率均為復(fù)值。您應(yīng)始終檢查集膚深度，并與您模型域的特征尺寸進(jìn)行對(duì)比。如果集膚深度遠(yuǎn)小于對(duì)象，您可以按照 “模擬電磁波問(wèn)題中的金屬對(duì)象” 文章中的做法將域作為一個(gè)邊界條件模擬。如果集膚深度與對(duì)象尺寸相仿或更大，電磁場(chǎng)將透入對(duì)象并在域內(nèi)發(fā)生明顯的相互作用。

如果集膚深度小于對(duì)象，那建議使用邊界層網(wǎng)格剖分來(lái)求解邊界法向方向上的場(chǎng)中的強(qiáng)烈變化，每單位集膚深度應(yīng)至少使用一個(gè)單元，同時(shí)應(yīng)使用至少三個(gè)邊界層單元。如果集膚深度大于介質(zhì)的等效波長(zhǎng)，那就可以通過(guò)在每波長(zhǎng)應(yīng)用五個(gè)單元來(lái)求解介質(zhì)本身的波長(zhǎng)，如上方左圖所示。

小結(jié)

在本篇博客中，我們介紹了 COMSOL Multiphysics 中用于定義電磁波模型中材料屬性的幾種方法。我們發(fā)現(xiàn)在特定頻率范圍內(nèi)，用于定義相對(duì)介電常數(shù)的材料模型也可以用于金屬材料。另一方面，根據(jù) “模擬電磁波問(wèn)題中的金屬對(duì)象” 文章中的介紹，我們還可以通過(guò)邊界條件定義金屬域。結(jié)合我們之前發(fā)布的關(guān)于模擬開(kāi)放邊界條件及關(guān)于模擬端口的文章，我們已經(jīng)基本掌握了電磁波模擬的所有相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)。不過(guò)，我們還有一些要點(diǎn)尚未涉及，請(qǐng)繼續(xù)保持關(guān)注！